4. série 9. ročníku

Albert, Norbert, Herbert a Dagobert se vydali na výlet do přírody. Tato soudržná skupina kamarádů má však bohužel na spoustu věcí odlišné názory, a tak vždycky, když se měli rozhodnout, kterou ze dvou cest se vydat, hlasovali.

Zatímco Norbertovi, Herbertovi a Dagobertovi tenhle způsob rozhodování připadal dobrý, Albert měl pocit, že se hodně často může stát, že se neshodnou, neboť výsledek hlasování bude 2:2. Čas však ukázal, že ve skutečnosti byl mnohem častější výsledek 3:1.

Vypočítejte, jaká je pravděpodobnost, že se čtyři kamarádi rozhodnou v poměru 3:1, jestliže vybírají mezi dvěma volbami a každý z nich vybírá nezávisle. Pravděpodobnost konkrétního případu je v této situaci podíl onoho konkrétního případu a všech možných případů. Jaká je pravděpodobnost, že se rozhodnou v poměru 2:2? Co je pravděpodobnější?

Jede traktor, je to Zetor, jede do hor, orat brambor…  Klasický příběh, který všichni známe. Stihne mládenec práci, i když jeho kumpáni přijdou pozdě?

Normálně zvládnou ve dvanácti lidech práci za čistých 24 hodin a dostanou za ni všichni dohromady poctivých 12krát $2 400 \mathrm{Kč}$. Nyní ale mládenec pracuje na poli samotný, jelikož všichni jeho kumpáni poněkud zaspali. Proto zavolá jednomu z nich, který za hodinu přijde. Jakmile přijde, tak každý¹⁾ zavolá jednomu jinému kamarádovi. Ti následně za hodinu přijdou. Proces se takto opakuje a pole má neomezenou kapacitu pracovníků. Kdy dokončí svoji práci? Kolik peněz dostane náš mládenec, když se rozdělí spravedlivě podle vykonané práce, a když se peníze rozdělí stejně mezi všemi, kteří vykonali nějakou práci?

Lubor jednou dostal hlad, tak si šel dát k svačině párek v rohlíku, který po strávení uvolní $E=263 \mathrm{kcal}$ (kilokalorií). Je ovšem ve vysoké budově a bufet je až v přízemí. Když si tedy párek koupí, ale zároveň musí vyšlapat schody do výšky $H$, říká si, jestli se mu to energeticky vůbec vyplatí.

Uvažujte, že Lubor váží $m=60 \mathrm{kg}$, stoupá průměrně o $5 \mathrm{m}$ za minutu a průměrně spálí $6\;000 \mathrm{kJ}$ denně jenom tím, že dýchá a udržuje tělesnou teplotu. S jakou účinností (v procentech) přeměňuje energii z párku v rohlíku ve svou potenciální energii, pokud se cestou do schodů zadýchá, a má tak o $10 \mathrm{\%}$ vyšší spotřebu, než kdyby jenom ležel? Jak vysoká by musela budova být, aby se mu to nevyplatilo?

Když si jednoho dne Vítek napustil vanu, nedopatřením po napuštění ztratil špunt. Jakou rychlostí začala voda odtékat z Vítkovy vany, jestliže ji měl napuštěnou do výšky $h=30 \mathrm{cm}$? Vítek zpanikařil, a tak začal do vany zpětně napouštět vodu s přítokem $Q=15,0 \mathrm{l\cdot min^{-1}}$. V jaké výšce se voda ve vaně ustálila, jestliže byl obsah odtokového otvoru vany $S=4,0 \mathrm{cm^2}$?

Přátelé Výfuku se rozhodli, že prozkoumají trpasličí planetku UCHO-373. Rozdělili se do dvou skupin, přičemž jedna přistála na povrchu a zjistila, že planetka má poloměr $R$ a hmotnost $m$, druhá v průzkumném modulu zaujala stabilní kruhovou oběžnou dráhu ve vzdálenosti $3R$ od středu planetky.

• Načrtněte obrázek oběhu družice a vypočtěte její oběžnou rychlost.

Výzkumnou misi však přerušil zbloudilý asteroid, který narazil do Výfučího průzkumného modulu. Zpomalil ho natolik, že začal obíhat po elipse tak, že v nejbližším bodě oběhu byl těsně u povrchu planety a v nejvzdálenějším bodě v původní vzdálenosti $3R$ (od jejího středu).

• Načrtněte obrázek tohoto oběhu a vyznačte hlavní a vedlejší poloosy a ohniska.

Bohužel se důležité přístroje v modulu nárazem asteroidu rozbily, a tak přátelé Výfuku v modulu neznají svou oběžnou dobu. Naštěstí ti, kteří zůstali na planetce, ví, že na obzoru byl výzkumný modul od nich vzdálen $1,7R$ a do nadhlavníku potom dorazil za $8,0 \mathrm{h}$. Přátelé Výfuku na planetce se nachází v místě protilehlém bodu, kde modul prolétává nejblíž planetce.

• Jak dlouho trval družici jeden oblet? Pro jednoduchost můžete (a nemusíte) předpokládat, že ohnisko je ve středu planety.

K výpočtu můžete využít fakt, že dle druhého Keplerova zákona²⁾ je tzv. plošná rychlost (plocha, kterou za čas opíše spojnice modulu a planety) modulu konstantní. Také využijte fakt, že obsah elipsy je roven $\pi ab$, kde $a$ a $b$ jsou hlavní resp. vedlejší poloosy elipsy.

Po zjištění oběžné doby se přátelé Výfuku z planetky opět setkali se zbytkem týmu v modulu a nyní se chtějí vrátit zpátky ke své mateřské lodi, která planetku taktéž obíhá. Bohužel s mateřskou lodí ztratili komunikaci, a tak jen vypozorovali, že její oběžná doba je $48 \mathrm{h}$. Znají ale všechny Keplerovy zákony, a tak si poradí.

• Aby modulu na cestě k lodi vystačilo palivo, musí být hlavní poloosa dráhy mateřské lodi kratší než dvojnásobek hlavní poloosy modulu. Dostanou se přátelé Výfuku domů?

Teorie roztažnosti, o které pojednáváme ve Výfučtení této série, je široce aplikována při měření teploty. Sestavte si vlastní teploměr na bázi teplotní roztažnosti ze skleněné či plastové lahve, brčka, plastelíny a směsi lihu a vody v poměru 1:1, kterou můžete případně obarvit potravinářským barvivem, aby bylo čtení hodnot snazší. Samotný postup konstrukce nalezněte sami. Líh vám mohou rodiče zakoupit v drogerii.

Váš teploměr okalibrujte – to znamená: udělejte si na něm rysky pro nějakou velmi nízkou a pak pro nějakou vysokou teplotu, kterou určíte pomocí jiného přesného teploměru. Když takto zjistíte, jaký vlastně je rozsah (ve stupních Celsia) vašeho teploměru, použijte jej ke změření venkovní teploty ve vámi určené datum, hodinu a na vámi určeném místě ³⁾ Teploměr vyfoťte či jinak zdokumentujte ve všech třech měřeních. Jak přesný takový teploměr je? Diskutujte přesnost teploměru (sami ji můžete porovnat s jinými teploměry).

Upozornění: Při práci s lihem dodržujte zásady bezpečnosti popsané na jeho lahvi!

Bonus pro náročné za odměnu: Určete ze svého experimentu koeficient objemové roztažnosti vámi použitého roztoku.

Obchodník s olejem nakoupil 120 barelů potravinového oleje, každý s objemem přesně 100 litrů. Napadlo jej, že když ocelové barely zahřeje, část oleje vyteče a bude jím moci naplnit další sudy. Než se však do nekalého počínání pustí, zajímá ho, kolik peněz takto neoprávněně získá.

1. Předpokládejme, že obchodník je schopen sudy s olejem ohřát o $t=60 \mathrm{\C }$. Dále uvažujme koeficient teplotní objemové roztažnosti oleje jako $\beta \_{olej}=9,6 \cdot 10^{-4} \mathrm{K^{-1}}$ a koeficient teplotní délkové roztažnosti oceli jako $\alpha \_{ocel}=1,1 \cdot 10^{-6} \mathrm{K^{-1}}$. Jaký objem oleje tím získá?
2. Jeden litr potravinového oleje si zákazník koupí za $40 \mathrm{Kč}$. Vyplatí se obchodníkovi takový podvod, pokud je měrná tepelná kapacita oleje $c = 1800 \mathrm{J\cdot kg^{-1}\cdot K^{-1}}$, hustota před zahřátím $\rho = 910 \mathrm{kg\cdot m^{-3}}$, GJ tepla stojí $560 \mathrm{Kč}$ a obchodník je schopný barely zahřívat s účinností $n = 40 \mathrm{\%}$? Na kolik peněz si přijde?